Valeur limite et continuité dans l’analyse expliquée avec des exemples


La limite et la continuité sont les plus couramment utilisées en mathématiques et les plus couramment utilisées en calcul. La continuité est une méthode d’exécution continue d’une tâche.

Une fois que vous avez commencé à dessiner au crayon pour tracer le graphique d’une fonction, cette fonction doit être une fonction continue si vous effectuez le traçage sans lever le crayon. La limite, en revanche, est une fonction qui approche une certaine valeur.

Les valeurs limites sont très utiles en calcul pour calculer les intégrales, la continuité et les dérivées. Ils sont très utiles pour résoudre les problèmes liés à l’intégrale, la continuité et les dérivées. Les valeurs limites et la continuité se combinent de plusieurs manières en analyse et en mathématiques.

Limites – définition et introduction

En calcul, une fonction qui approche le résultat final pour les valeurs initiales données est appelée la limite de cette fonction. Les limites sont utilisées dans le calcul pour identifier la continuité, la dérivée et l’intégrale. Le but principal de la frontière est de définir ces méthodes ci-dessus. Les valeurs limites sont souvent utilisées pour déterminer le comportement de la fonction ou de la Séquence de fonction à un moment donné.

Les limites sont également utilisées dans la catégorie théorie et dans le réseau topologique pour une généralisation ultérieure. Les valeurs limites sont généralement très utiles dans les intégrales. Les intégrales sont divisées en deux types, l’une est l’intégrale définie et l’autre est l’intégrale indéfinie. Pour le calcul de l’intégrale définie, nous avons besoin d’avoir les bornes supérieure et inférieure de la fonction donnée. D’autre part, l’intégrale indéfinie est calculée sans limites simplement en suivant les formules de base.

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Les limites sont également utiles lors du calcul des dérivés selon le premier principal. Dans le premier principe des dérivées, les limites sont utilisées pour faire les calculs et obtenir le résultat final.

Les limites sont généralement définies comme une fonction qui s’approche des valeurs données lorsque x s’approche de n pour donner la sortie M,

= M

Les limites sont utilisées pour calculer le résultat parfait de l’entrée donnée. Calculateur de limite peut être utilisé pour calculer les résultats exacts des valeurs limites telles que la limite gauche, la limite droite ou la limite bilatérale. Tous les résultats seront précis et vous obtiendrez également la solution complète de l’étape.

Types de frontières

Il existe trois principaux types de limites. Ces types sont souvent utilisés dans l’analyse pour représenter différents scénarios de la fonction donnée.

  • Limite main gauche

Le premier type de limite est la limite gauche, également écrite LHL, qui est une limite avec une fonction qui se comporte sur l’entrée donnée à gauche comme une forme gauche immédiate x = n. peut être exprimé comme

= M

  • Limite main droite

Le deuxième type de valeur limite est la valeur limite droite, qui s’écrit également RHL, une valeur limite avec une fonction qui se comporte par rapport à l’entrée donnée à droite comme une forme droite immédiate x = n. peut être exprimé comme

= M

  • Limitation bilatérale

Lorsque les limites donnent la valeur exacte de la fonction donnée à x = n. avec une valeur limite bilatérale, la valeur limite gauche est égale à la valeur limite gauche et s’écrit comme,

= M

Comment calculez-vous les problèmes de valeur limite ?

Pour le calcul de Limites, utilisons quelques exemples.

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Exemple 1

7x + 8. évaluer

Solution

Étape 1: Appliquer la règle des sommes.

7x + 8 = 7x + 8

Étape 2: Appliquer la règle constante.

7x + 8 = + 8

Étape 3: Appliquer des limites.

7x + 8 = 7 (3) + 8

= 21 + 8 = 29

Exemple 2

Évaluer x2 + 6x + 9 / x2 – 9

Solution

Étape 1: Factoriser le numérateur.

x2 + 6x + 9 / x2 – 9 = (x + 3) (x + 3) / x2 – 9

étape 2: Factorisation du dénominateur.

x2 + 6x + 9 / x2 – 9 = (x + 3) (x + 3) / (x + 3) (x – 3)

Étape 3: Supprimez le numérateur et le dénominateur communs.

= (x + 3) (x + 3) / (x + 3) (x – 3)

= (x + 3) / (x – 3)

Étape 4: Appliquer la règle du quotient.

= (x + 3) / (x – 3)

Étape 5 : Appliquer des limites :

= (4 + 4) / (4 – 3)

= 8/1 = 8

Étape 4: Écris l’équation avec le résultat.

x2 + 6x + 9 / x2 – 9 = 8

continuité

La continuité est une méthode d’exécution continue d’une tâche. Une fois que vous avez commencé à dessiner au crayon pour tracer le graphique d’une fonction, si vous effectuez le tracé sans lever le crayon, cette fonction doit être une fonction continue.

En calcul, la continuité peut être écrite mathématiquement à travers les étapes suivantes.

  • La fonction donnée doit être définie pour x = n comme f (x) = f (n)
  • Il doit y avoir une valeur limite gauche (f (x)) et une valeur limite droite ().
  • Lorsque la limite gauche devient égale à la limite droite, elle doit être égale à la continuité.

= = f (n)

Si toutes les étapes ci-dessus sont remplies pour la fonction donnée, alors la fonction donnée est appelée la fonction continue.

Relation entre frontière et continuité ?

Si la valeur de F. à proximité X à gauche de une, c’est-à-dire la limite gauche de F. à une, et la valeur de F. à proximité X a la droite de une, c’est-à-dire la limite droite de F. à une sont identiques, nous appelons cette valeur commune la limite de f (x) à x = a. Même si la limite de f (x) tend vers x une est égal à FA), la fonction F. signifie régulièrement à une.

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La meilleure relation entre valeur limite et continuité est que nous ne pouvons définir la continuité qu’à l’aide de valeurs limites telles que « Une fonction f avec la variable x est continue au point » a « sur la ligne réelle si la valeur limite de f ( x), lorsque x se rapproche du point « a », est égal à la valeur de f (x) en « a », ce qui signifie que f (x) est continûment f (a).

diplôme

Les limites et la continuité sont principalement utilisées dans l’analyse pour calculer ou définir la fonction. Les limites et la continuité ne sont pas des questions trop difficiles. Une fois que le concept de base de ces sujets est appris, vous pouvez facilement résoudre tout problème connexe.


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